Elementare Algebra · Пробный урок

Эта тема посвящена числовым множествам ( Zahlenmengen ) и одна из самых простых во всём курсе. Здесь ты научишься отличать различные виды чисел и понимать их свойства.

Даже если сама эта тема не попадётся в вступительном экзамене визо напрямую, найди время её проработать: обозначения чисел на математическом языке ( $\mathbb{R}$ , $\mathbb{Q}$ , ${\mathbb{R}}^{+}$ и т. д.) регулярно встречаются в заданиях и различных формулах в общем виде (например в Definitionsbereich — область допустимых значений).

Обрати внимание: некоторые числовые множества входят друг в друга и являются Teilmengen (подмножествами) друг друга. Что это значит: одно и тоже число может относиться одновременно к нескольким видам чисел. Например:

• → число $7$ — натуральное, а так же целое, действительное и рациональное;
• → все Natürliche Zahlen (натуральные числа) являются Ganze Zahlen (целыми числами).

Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$ — натуральные числа — целые, положительные числа, которыми мы можем посчитать какие-либо предметы; $0$ (ноль) не входит.

Natürliche Zahlen sind die ganzen Zahlen, mit denen man Dinge zählt: 1, 2, 3, … Die Null gehört nicht dazu.

Подсказка: чтобы понять, натуральное число перед тобой или нет, задай себе вопрос «Могу ли я с помощью этого числа посчитать людей в комнате?». Если ответ да, то число является натуральным.

Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ — целые числа — все числа, выраженные без дробей.

Ganze Zahlen sind alle Zahlen ohne Bruchteil: … −2, −1, 0, 1, 2, …

Обрати внимание: целые числа $=$ натуральные $+$ ноль $+$ целые отрицательные числа.

Пример: $0$ ; $5$ ; $-7$ ; $-3000$ ; но никогда $3,5$ или $-15,5$ .

Подсказка: чтобы понять, целое перед тобой число или нет, задай себе вопрос «Записано ли число с остатком (дробью)». Если ответ нет — перед тобой целое число.

Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ — рациональные числа — все числа, которые можно записать в виде дроби $\frac{A}{B}$ , где $A$ и $B$ — целые числа, $B\ne 0$ .

Rationale Zahlen lassen sich als Bruch A/B mit ganzen Zahlen A, B und B ≠ 0 schreiben.

Обрати внимание: рациональные числа $=$ натуральные $+$ целые $+$ дробные числа (как конечные так и бесконечные периодические дроби), включая отрицательные.

Пример: $5$ ; $0$ ; $-7$ ; $\frac{1}{2}$ ; $-\frac{3}{4}$ ; $1,25$ ; $0,333\dots$

Но: $\sqrt{2}$ и $\pi$ — не рациональные числа. Почему? Рациональными являются либо конечные либо периодические дроби.

Но $\sqrt{2}=1,4142135\dots$ и $\pi =3,1415926\dots$

Здесь остаток в этих дробях не имеет периода (одинакового повторения), поэтому они относятся к иррациональным числам.

Подсказка: вопрос: «Могу ли я записать число как $\frac{A}{B}$ , где $A$ и $B$ — целые числа, а $B\ne 0$ ?» Если да → рациональное.

Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ — действительные числа — это все числа, которые можно расположить на числовой прямой, то есть сделать отметки на оси $x$ или $y$ .

Reelle Zahlen sind alle Zahlen, die einen Platz auf der Zahlengeraden haben.

Обрати внимание: Reelle Zahlen $=$ рациональные $+$ иррациональные числа.

Пример: $5$ ; $0$ ; $-7$ ; $\frac{1}{2}$ ; $1,25$ ; $0,333\dots$ ; корень из $2$ ; число $\pi$ .

Подсказка: чтобы понять, является ли число вещественным, спроси себя: «Можно ли найти этому числу место на обычной числовой прямой допустим на оси $x$ ?» Если да → это действительное число.